DIEZ EJERCICIOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
1).- La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.
Solución
Si dice que la edad de Liliana era hace seis años y si le ponemos a la edad, la letra x, entonces lo que pasó hace seis años sería x – 6 Y si dice algo que va a pasar dentro de seis años, entonces sería x + 6 Entonces leyendo el ejercicio nos dice que la edad de Liliana hace seis años es igual a la raíz cuadrada de la que tendrá dentro de seis años, por lo que en fórmula nos quedaría así: (x – 6) = V x + 6 La forma que tenemos para eliminar la raíz cuadrada, es elevar al cuadrado cada uno de los elementos de la ecuación y nos quedaría así:
(x – 6)2 = (V x + 6)2 Al lado derecho nos queda el cuadrado de un binomio, que significa la primera al cuadrado menos el doble producto de la primera por la segunda más la segunda al cuadrado Al lado izquierdo desaparece la raíz, por lo que nos quedaría de la siguiente manera: x2 – 12x + 36 = x + 6 Tenemos que convertir nuestra ecuación en una parecida a la forma ax2 + bx + c = 0 Entonces nos queda x2 – 12x + 36 - x – 6 = 0 Reduciendo términos semejantes tendremos x2 – 13x + 30 = 0 Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 1, b = -13 y c= 30 También podemos factorizarla buscando dos números que sumados den -13 y multiplicados den 30 Por lo que nos quedará factorizando (x-10) (x-3) = 0 Entonces si tengo (x – 10) = 0 y (x – 3) = 0, despejando los paréntesis, nos quedará x = 10 y x = 3 este resultado nos da igual cuando aplicamos la fórmula. Como tenemos dos resultados, descartaremos el valor de x = 3, porque significaría que hace seis años todavía no habría nacido Liliana, por lo que nuestra respuesta será 10.
2).- Ana es dos años mayor que Boris y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130. Cuál es la edad de cada uno?
Solución
Si Ana es dos años mayor que Boris y si le ponemos a la edad de Boris la letra x, entonces nos quedaría así: x = edad de Boris x + 2 = edad de Ana Si dice que la suma de los cuadrados de ambas edades es 130, significa que debemos elevar al cuadrado cada una de las edades, sumarlas entre sí y el resultado es 130 Entonces en fórmula será (x)2 + (x + 2)2 = 130 Entonces tendremos la suma de x2 más el cuadrado de un binomio, que significa la primera al cuadrado menos el doble producto de la primera por la segunda más la segunda al cuadrado, por lo que será x2 + x2 + 4x + 4 = 130 Reduciendo términos semejantes tendremos 2x2 + 4x = 130 - 4 Tenemos que convertir nuestra ecuación en una parecida a la forma ax2 + bx + c = 0, por lo que quedará 2x2 + 4x – 126 = 0 Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 2, b = 4 y c = -126 Resolviendo con la fórmula nos quedará un valor positivo y un valor negativo, por lo que descartaremos el negativo porque no hay edades negativas entonces tendremos como respuesta 7. La edad de Boris es siete años y como Ana es mayor en dos años que él, la edad de Ana será 9 años. Comprobando (7)2 + (9)2 = 130 49 + 81 = 130
3).- Encontrar dos números tales que su suma sea 34 y su producto 273.
Solución
Si nos piden dos números que sumados nos den 34, significa que si al un número le ponemos x, el otro será 34 – x, por lo que al tener ya los dos números, podemos multiplicarlos y su producto será 273, por lo que esta ecuación quedaría de la siguiente manera: (34 – x).x = 273 Aplicando la ley asociativa para multiplicar la x por lo que está dentro del paréntesis, nos quedará de la siguiente manera: 34x – x2 = 273 luego la llevamos a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: -x2 + 34x – 273 = 0. Por facilidad de trabajo, multiplicaremos TODA la ecuación por (-1) y de esa manera el término que está con x2 lo hacemos positivo y resolvemos. x2 - 34x + 273 = 0. Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 1, b = -34 y c = 273 Resolviendo con la fórmula nos quedará 21 y 13, que es el mismo resultado que obtendríamos si mediante factorización buscamos dos números que restados entre sí nos den -34 y multiplicados nos dé un valor positivo de 273. Por lo que nuestra respuesta serán 21 y 13
4).- Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45.
Solución
Como nos piden solo un número, directamente le pondremos x, para que con base en esto aplicar lo planteado. Ese número dos veces elevado al cuadrado sería 2x2 y ese producto sería igual al número excedido en 45, es decir a x + 45, por lo que la ecuación quedaría así: 2x2 = x +45, llevado a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: 2x2 - x – 45 = 0. Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 2, b = -1 y c = -45 Resolviendo con la fórmula nos quedará 5 y -4,5, por lo que descartando el valor negativo, nuestro resultado será 5. Comprobando 2(5)2 = 5 + 45 2(25) = 50 50 = 50
5).- Un rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho. En cuántos centímetros habría que disminuir simultáneamente el largo y el ancho para que la diagonal sea 4 cm menor.
Solución
La diagonal lo que hace es dividir a un rectángulo en dos triángulos rectángulos, por lo que esta diagonal pasa a ser la hipotenusa de estos triángulos, de tal suerte que el largo y el ancho dados, son los catetos de dichos triángulos. Con base en lo anterior y aplicando el teorema de Pitágoras, que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, podremos hallar nuestra hipotenusa. c2 = a2 + b2 La hipotenusa será la raíz cuadrada de (15)2 + (8)2 = 125 + 64 = 189 Por lo que la raíz de 189 es 17, que corresponde a la medida de nuestra diagonal actual. Como nos piden cuánto debe disminuir nuestros largos y anchos simultáneamente, significa que es una sola incógnita, entonces el x restará tanto al largo como al ancho, para cuando nuestra diagonal ya no sea 17 sino 4 cm menos es decir 13 cm. Regresando al teorema de Pitágoras, a será (15 – x) y nuestro b será (8 – x), siendo nuestra hipotenusa o c igual a 13, por lo que la ecuación quedaría así: c2 = a2 + b2 (15 - x)2 + (8 - x)2 = (17 – 4)2 (15 - x)2 + (8 - x)2 = 169 Resolviendo los cuadrados de los binomios nos quedará: 225 – 30x +x2 + 64 – 16x + x2 = 169 ; reduciendo términos semejantes 2x2 – 46x + 289 = 169 llevado a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: 2x2 – 46x + 120 = 0 Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 2, b = -46 y c = 120. También podemos sacar factor común 2 y nos quedaría mucho más fácil de Factorar una expresión x2 – 23x + 60 = 0, donde buscamos dos números cuya resta entre sí dé -23 y cuyo producto sea un valor positivo 60, lo que es fácil de hallar los números 20 y 3. Descartando el 20 por ser mayor a las medidas del rectángulo, nos quedamos con el 3, que es la cantidad simultánea que debemos quitarle tanto al largo como al ancho para que se cumpla lo solicitado
6).- Determina los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que las dimensiones de los tres corresponden a números consecutivos.
Solución
Si tenemos los tres lados y se indica que son consecutivos, entonces denominaremos como x al lado menor, por lo que la x sumado en 1, será el intermedio y el mayor corresponde a x sumado en 2. Por lo que nuestros lados serán: X X+1 X+2 Y bajo el concepto de que un triángulo rectángulo tiene como lado mayor a la hipotenusa, entonces será x+2, por lo que los catetos serán x+1 y x. Aplicando el teorema de Pitágoras, que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, podremos reemplazar nuestra hipotenusa. c2 = a2 + b2 (x+2)2 = x2 + (x+1)2 Descomponiendo esa ecuación, la llevaremos a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: x2 + 4x + 4 = x2 + x2 +2x +1 ; x2 + 4x + 4 - x2 - x2 -2x -1 = 0 - x2 +2x +3 = 0 Por facilidad de trabajo, multiplicaremos TODA la ecuación por (-1) y de esa manera el término que está con x2 lo hacemos positivo y resolvemos. x2 - 2x - 3 = 0 Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 1, b = -2 y c = -3. También podemos factorar una expresión x2 – 2x - 3 = 0, donde buscamos dos números cuya suma entre sí dé -2 y cuyo producto sea un valor negativo -3, lo que es fácil de hallar los números -1 y 3. Descartando el valor negativo, las medidas del triángulo rectángulo, nos quedaría con el 3, para el cateto menor, 4 para el cateto mayor y 5 para la hipotenusa.
7).- Una sala de clases está distribuida por filas, el número de alumnos por cada fila es 3 más que el número de filas. Cuántos alumnos y cuántas filas hay si los alumnos son en total 40.
Solución
Como tenemos dos incógnitas, pero la una está relacionada con la otra, denominaremos x al número de filas, por lo que el número de alumnos por fila será entonces x+3. Si el total de alumnos corresponde a 40, que sería el producto del número de filas por el número de alumnos por filas, nuestra ecuación quedaría de la siguiente manera:
x(x + 3) = 40 ; aplicando la ley asociativa nos quedaría x2 + 3x = 40 llevándola a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: x2 + 3x - 40 = 0 Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 1, b = 3 y c = -40. También podemos factorar la expresión x2 + 3x - 40 = 0, donde buscamos dos números cuya suma entre sí dé 3 y cuyo producto sea un valor negativo -40, lo que es fácil de hallar los números -8 y 5. Descartando el valor negativo, nuestra x tendrá como valor igual a 5, que sería el número de filas y automáticamente el número de alumnos por fila al ser 3 más que el de filas, sería 8.
8).- El largo de un rectángulo es 3 más que su ancho. El área es 70 m2, encuentre el largo y el ancho.
Solución
Como tenemos dos incógnitas, pero la una está relacionada con la otra, denominaremos x al ancho, por lo que el largo a ser 3 metros más que el ancho, será entonces x+3.
El área de un rectángulo es el producto del largo por su ancho y también es un valor conocido equivalente a 70 m2, por lo que nuestra ecuación quedará así:
Área = largo por ancho, reemplazando sería: 70 = (x+3) (x) aplicando la ley asociativa nos quedaría x2 + 3x = 70 llevándola a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: x2 + 3x - 70 = 0 Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 1, b = 3 y c = -70. También podemos factorar la expresión x2 + 3x - 70 = 0, donde buscamos dos números cuya suma entre sí dé 3 y cuyo producto sea un valor negativo -70, lo que es fácil de hallar los números 7 y -10. Descartando el valor negativo, nuestra x tendrá como valor igual a 7, que sería el ancho y automáticamente nuestro largo al ser 3 metros más que el ancho, sería 10.
9).- Encontrar dos números cuya suma sea 16 y el producto 63.
Solución
Si la suma de los números es 16, entonces llamaremos x, a uno de ellos, por lo tanto el otro sería 16 – x. Entonces si multiplicáramos x por el otro número es decir (16- x), el producto sería 63 conforme indica el ejercicio, por lo que nuestra ecuación quedará de la siguiente manera: x(16 - x) = 63 ; aplicando la ley asociativa nos quedaría -x2 + 16x = 63 llevándola a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: -x2 + 16x - 63 = 0. Por facilidad de trabajo, multiplicaremos TODA la ecuación por (-1) y de esa manera el término que está con x2 lo hacemos positivo y resolvemos. x2 - 16x + 63 = 0 Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 1, b = -16 y c = 63. También podemos factorar la expresión x2 - 16x + 63 = 0, donde buscamos dos números cuya suma entre sí dé -16 y cuyo producto sea un valor positivo 63, lo que es fácil de hallar los números 7 y 9.
10).- Se quitan cuadrado iguales de cada esquina de una hoja metálica rectangular cuyas dimensiones son de 50x40 cm. Después los lados se doblan hacia arriba para formar una caja rectangular. Si la base de la caja tiene un área equivalente al sesenta por ciento del área de la hoja metálica, determine el lado del cuadrado que se quitó en cada esquina.
Solución
El área total de nuestra hoja metálica, será los 50 cm por los 40 cm, entonces es 2.000 cm2. Si la base de la caja, es decir el ancho descontado el corte de cada lado, por el largo descontado también el corte hecho de cada lado ahí, equivale al 60% del área total, significa que es 1.200 cm2. Cálculo del porcentaje: (2.000) (60/100) = 1.200 Si llamamos x a las dimensiones del cuadrado que vamos a cortar en cada lado, tanto del ancho como del largo, tendremos que el largo interior de la caja será los 50 cm del largo total de la hoja metálica, menos la x de un lado y la x del otro lado. Igual procedimiento tendremos en el ancho, por lo que el ancho interior de la caja será los 40 cm del ancho total de la hoja metálica, menos la x de un lado y la x del otro lado. Nuestra ecuación quedaría así: (50 – x – x) (40 – x – x) = 1200 (50 – 2x) (40 – 2x) = 1200 Aplicando la ley distributiva tendremos: 2000 – 100x – 80x + 4x2 = 1200 llevándola a la forma ax2 + bx + c = 0 y nos quedaría: 4x2 - 180x + 800 = 0. Esta ecuación podremos resolverla con la fórmula, teniendo como valores de a= 4, b = -180 y c = 800. También podemos sacar factor común 4 y nos quedaría mucho más fácil de Factorar una expresión x2 – 45x + 200 = 0, donde buscamos dos números cuya resta entre sí dé -45 y cuyo producto sea un valor positivo 200, lo que es fácil de hallar los números 40 y 5. Descartamos el valor de 40, porque prácticamente corresponde al ancho de la hoja metálica y aceptamos el de 5 cm, que sería lo que a cada lado recortaríamos para hacer nuestra caja solicitada.